Tóm tắt Reading 13: Random Variables

Biến ngẫu nhiên, PMF và CDF

• Biến rời rạc: số giá trị đếm được (Bernoulli, số vụ vỡ nợ). Biến liên tục: vô số không đếm được giá trị; P(X = x) = 0, xác suất chỉ đo trên khoảng.
• PMF: f(x) = P(X = x); mọi f(x) ∈ [0, 1], tổng bằng 1. Bernoulli: f(x) = p^x(1 − p)^{1 − x}.
• CDF: F(x) = P(X ≤ x), định nghĩa với mọi số thực, không giảm từ 0 tới 1. Với biến rời rạc, CDF là tổng cộng dồn của PMF; PMF là bước nhảy của CDF.

Giá trị kỳ vọng

• E(X) = Σ P(x_i) × x_i: bình quân gia quyền theo xác suất. Đồng xu 0.5, xúc xắc 3.5; kết cục đồng khả năng thì là trung bình cộng.
• E(cX) = cE(X); E(X + Y) = E(X) + E(Y); E(a + bX) = a + bE(X). Nói chung E(X²) ≠ [E(X)]².

Bốn moment

• Mean μ = E(X); variance σ² = E[(X − μ)²] = E(X²) − μ²; σ cùng đơn vị với X.
• Skewness = E[(X − μ)³] ÷ σ³: 0 đối xứng, dương đuôi phải dài, âm đuôi trái dài.
• Kurtosis = E[(X − μ)⁴] ÷ σ⁴: đo xác suất ở đuôi; phân phối chuẩn = 3; excess kurtosis = kurtosis − 3; kurtosis cao là fat tails.

PDF và quantile

• PDF cho biến liên tục: xác suất là diện tích dưới PDF; f(x) là mật độ, có thể lớn hơn 1. PDF và CDF chứa cùng thông tin.
• Quantile Q(α) là hàm ngược của CDF: F[Q(α)] = α. Median = Q(50%); IQR = Q(75%) − Q(25%), chứa 50% xác suất ở giữa.
• Lệch phải: mean > median; lệch trái: mean < median.

Biến đổi tuyến tính Y = a + bX

• E(Y) = a + bE(X); σ²_Y = b²σ²_X; σ_Y = |b|σ_X.
• Skew Y = skew X nếu b > 0, = −skew X nếu b < 0; kurtosis không đổi.
• Median Y = a + b × median X; IQR Y = |b| × IQR X.