Tóm tắt Reading 1: Estimating Market Risk Measures: An Introduction and Overview — FRM2

P/L_t = P_t + D_t − P_t−1; arithmetic return r_t = (P_t + D_t) ÷ P_t−1 − 1 (không tái đầu tư D, không hợp kỳ dài); geometric return R_t = ln[(P_t + D_t) ÷ P_t−1] (tái đầu tư liên tục, giá không âm).
Lỗ ghi số dương; VaR là điểm cắt ở đuôi trái nhưng báo cáo là số dương.

Xếp quan sát từ lỗ nặng nhất; đuôi có α × n quan sát; VaR là quan sát thứ (α × n) + 1 (1,000 quan sát, 95%: thứ 51). Nhiều đề FRM dùng quan sát thứ α × n (thứ 50).
VaR lịch sử 95% (dữ liệu chuẩn hóa) < 1.65 → đuôi mỏng hơn chuẩn; > 1.65 → đuôi dày hơn.
Chỉ hợp lý khi tương lai giống quá khứ; không điều chỉnh theo điều kiện kinh tế thay đổi hay tham số nhảy đột ngột.

Chuẩn, theo P/L: VaR(α) = −μ_P/L + σ_P/L × z_α (z_5% = 1.65, z_1% = 2.33). Ví dụ μ = $15m, σ = $10m → VaR 95% = $1.5m, VaR 99% = $8.3m.
Chuẩn, theo arithmetic return: VaR(α) = (−μ_r + σ_r × z_α) × P_t−1. Ví dụ 10%, 20%, $100 → $23.0 và $36.6.
Lognormal: VaR(α) = P_t−1 × (1 − e^{μ_R − σ_R × z_α}), luôn < P_t−1. Ví dụ 10%, 20%, $100 → $20.55 và $30.65. Kỳ ngắn thì gần bằng VaR chuẩn.

ES: chia đuôi thành n lát bằng xác suất, tính n − 1 VaR, lấy trung bình. Chuẩn tắc, 95%, n = 5: (1.7507 + 1.8808 + 2.0537 + 2.3263) ÷ 4 = 2.003; giá trị đúng 2.063; n tăng thì ước lượng tăng dần về giá trị đúng.
Coherent risk measure: trung bình có trọng số của mọi phân vị tổn thất, trọng số theo mức ngại rủi ro của người dùng. ES là trường hợp đặc biệt: trọng số 1 ÷ (1 − cl) trong đuôi, 0 ngoài đuôi.
Coherent risk measure nhạy với n hơn ES; chọn n bằng cách nhân đôi n đến khi halving error gần 0.

Sai số chuẩn: se(q) = p(1 − p) ÷ n ÷ f(q); khoảng tin cậy q ± se(q) × z_α. Ví dụ n = 500, bin 0.1 quanh 1.65: se ≈ 0.927, 3.18 > VaR > 0.12.
n tăng → se giảm; bin h rộng hơn → f(q) tăng, p giảm → se giảm; p tăng (p < 0.5) → se tăng; p(1 − p) lớn nhất ở p = 0.5.
QQ plot: phân vị dữ liệu vẽ đối với phân vị lý thuyết; thẳng là khớp; giữa khớp, đuôi cong ra là đối xứng đuôi dày. Chỉ là công cụ nhìn, không phải kiểm định.