Tóm tắt Reading 7: Beyond Exceedance-Based Backtesting of Value-at-Risk Models

Backtest dựa trên exceedance

• Đếm số ngày lỗ vượt VaR; VaR 95% kỳ vọng 5% số ngày. Ba tính chất: unconditional coverage (tổng số), independence (không dồn cục), conditional coverage (cả hai).
• Số exceedance nhị thức: p(x) = [n! ÷ ((n − x)!x!)](1 − p)^{n − x}p^x; 100 ngày, p = 5%: P(3) = 13.96%, đỉnh tại 5 (18.00%).
• Kupiec: LR_uc = −2 ln[(1 − p)^{n − x}p^x] + 2 ln[(1 − x/n)^{n − x}(x/n)^x]; bác bỏ khi > 3.84. VaR 95%, 252 ngày: chấp nhận khi số exceedance nằm giữa 6 và 20 (kỳ vọng 12.6). Hai phía: quá ít là quá bảo thủ.
• Independence: chuỗi Markov, H₀: π₀₁ = π₁₁, LR_ind > 3.84 thì bác bỏ.
• Conditional coverage: H₀: π₀₁ = π₁₁ = p, LR_cc = LR_uc + LR_ind > 5.99 thì bác bỏ.

PIT

• Exceedance chỉ nhìn một điểm cắt; PIT kiểm cả phân phối dự báo, đưa mọi ngày về cùng thang dù phân phối dự báo đổi mỗi ngày.
• Bốn bước: lấy phân phối dự báo; quan sát P&L; PIT = F_t(P&L_t) (vd N(0; $500), P&L −$250 → 0.308); kiểm tính đều, độc lập, conditional coverage.
• Exceedance VaR 95% ⇔ PIT < 0.05. Tính đều của PIT = unconditional coverage ở mọi mức; PIT độc lập = independence.
• Không đòi hỏi phân phối dự báo dạng nào.

Hình dạng và kiểm định

• Mô hình đúng: histogram phẳng (10% mỗi khoảng), QQ plot là đường thẳng (0, 0) đến (1, 1). Chữ U: σ dự báo quá thấp; chữ ∩: σ quá cao; dồn về 0: trung bình quá lạc quan.
• KS: D = max|z_j − A_j|, chênh lệch dọc lớn nhất, coi mọi chênh lệch như nhau.
• Anderson-Darling: A² = −n − (1/n)Σ(2j − 1)[ln z_j + ln(1 − z_n+1−j)], trọng số đuôi, phù hợp nhất cho quản lý rủi ro.
• Cramér-von Mises: W² = Σ[z_j − (2j − 1)/(2n)]² + 1/(12n), bình phương chênh lệch trung bình.
• Independence của PIT (Berkowitz): đổi PIT sang N⁻¹(PIT) để tránh miền bị chặn rồi kiểm bằng log-likelihood; scatterplot PIT theo PIT trễ phải rải đều, không cụm.