Tóm tắt Reading 10: Financial Correlation Modeling—Bottom-Up Approaches

Copula function

• Copula tạo phân phối đồng thời cho nhiều biến bằng cách ánh xạ các phân phối biên chưa biết sang một phân phối đã biết (ví dụ chuẩn đa biến), giữ nguyên phân phối biên và định nghĩa tương quan ở không gian mới.
• C: [0,1]ⁿ → [0,1]; C[G₁(u₁), …, G_n(u_n)] = F_n[F₁⁻¹(G₁(u₁)), …, F_n⁻¹(G_n(u_n)); ρ_F].
• G_i(u_i): phân phối biên chưa biết dạng; F_n: phân phối tích lũy đồng thời; F_i⁻¹: hàm ngược dùng để ánh xạ; ρ_F: ma trận tương quan của F_n.
• Phổ biến quanh năm 2000 (một hàm cho CDO 100+ tài sản), thất sủng khi khủng hoảng 2007–2009 bắt đầu.

Gaussian copula

• Ánh xạ từng phân phối biên sang phân phối chuẩn tắc (trung bình 0, độ lệch chuẩn 1) theo percentile-to-percentile: percentile thứ 5 → −1.645.
• C_G[G₁(u₁), …, G_n(u_n)] = M_n[N₁⁻¹(G₁(u₁)), …, N_n⁻¹(G_n(u_n)); ρ_M].
• Gaussian default time copula: C_GD[Q₁(t), …, Q_n(t)] = M_n[N₁⁻¹(Q₁(t)), …, N_n⁻¹(Q_n(t)); ρ_M], với Q_i(t) là xác suất vỡ nợ tích lũy.
• Hai tài sản: C_GD[Q_B(t), Q_C(t)] = M₂[N⁻¹(Q_B(t)), N⁻¹(Q_C(t)); ρ], một hệ số ρ, không cần ma trận.
• Ví dụ B và C, ρ = 0.4: Q_B(1) = 0.065 → −1.514; Q_C(1) = 0.238 → −0.713; P(cùng vỡ nợ trong một năm) = 3.4%, so với 1.55% nếu độc lập.

Default time tương quan

• Không có lời giải dạng đóng nên phải mô phỏng.
• Cholesky decomposition của ρ_M để rút mẫu tương quan M_n(•) ∈ [0,1]; gán M_n(•) = Q_i(τ_i) và giải τ_i (Excel hoặc Newton-Raphson).
• Lặp lại khoảng 100,000 lần để ước lượng default time kỳ vọng; ví dụ mẫu 25% ứng với τ = 3.5 năm.