Tóm tắt Reading 9: Empirical Properties of Correlation: How Do Correlations Behave in the Real World?

Correlation theo trạng thái kinh tế

• Dữ liệu: 30 cổ phiếu Dow, 1972–2017, ma trận 30 × 30 = 900 hệ số mỗi tháng, 534 tháng → 480,600 hệ số.
• Mở rộng: GDP > 3.5%; bình thường: 0–3.5%; suy thoái: hai quý liên tiếp tăng trưởng âm.
• Correlation bình quân: suy thoái 37.0% > bình thường 33.0% > mở rộng 27.5%.
• Correlation volatility: bình thường 83.0% > suy thoái 80.5% > mở rộng 71.2%. Giai đoạn bình thường thị trường không rõ hướng nên correlation dao động mạnh nhất.

Mean reversion và autocorrelation

• Mean reversion: ∂(S_t − S_t−1) ÷ ∂S_t−1 < 0.
• S_t − S_t−1 = a(μ − S_t−1)Δt + σ_Sε√Δt; bỏ phần ngẫu nhiên, Δt = 1: S_t − S_t−1 = a(μ − S_t−1).
• Hồi quy Y = α + βX với Y = S_t − S_t−1, X = S_t−1: β = −a, α = aμ, nên μ = α ÷ a.
• Dow 1972–2017: Y = 0.256 − 0.7903X → a = 79.03%, autocorrelation một kỳ 20.97%.
• Correlation kỳ vọng: S_t = S_t−1 + a(μ − S_t−1); ví dụ 30% + 0.78 × 5% = 33.9%.
• Mean reversion rate + autocorrelation một kỳ = 1, vì S_t = aμ + (1 − a)S_t−1.
• AC(ρ_t, ρ_t−1) = cov(ρ_t, ρ_t−1) ÷ [σ(ρ_t)σ(ρ_t−1)]; ước lượng bằng ARCH, GARCH hoặc hồi quy.
• Autocorrelation Dow cao nhất 26% ở độ trễ hai tháng, giảm dần còn khoảng 10% ở độ trễ 10 tháng.

Phân phối phù hợp nhất

• Equity: 77% hệ số dương; Johnson SB (2 tham số hình dạng, 1 vị trí, 1 thang đo) qua kiểm định Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, chi-squared; normal, lognormal, beta khớp kém.
• Bond (7,645 hệ số): bình quân 42%, volatility 64%, mean reversion 26%, GEV là phù hợp nhất, normal cũng khớp tốt.
• Default probability (4,655 hệ số): bình quân 30%, volatility 88%, mean reversion 30%, Johnson SB.
• Correlation volatility giảm trước mọi cuộc suy thoái 1972–2017, trừ 1990–1991.