Cây lãi suất và backward induction
- Mỗi nút là lãi suất kỳ hạn một kỳ; cây phải định giá đúng các trái phiếu on-the-run (không có arbitrage) và giữ giả định độ biến động.
- Giá tại nút = [p × (VU + C) + (1 − p) × (VL + C)] ÷ (1 + i), i là lãi suất tại chính nút đó. Với p = 0.5: trung bình hai giá trị hiện tại.
- Ví dụ: zero hai năm, 4.5749% hôm nay, 7.1826% / 5.3210% năm 1 → $93.299, $94.948 → $90.006 = giá thị trường.
Replicating portfolio và risk-neutral pricing
- Sao chép payoff option bằng zero-coupon một năm và hai năm; hai thứ cùng payoff phải cùng giá, nếu không có arbitrage. Không cần xác suất.
- Risk-neutral pricing: giá = giá trị kỳ vọng chiết khấu theo risk-neutral probability, chiết khấu từng nút. Hai cách: cố định xác suất, chỉnh lãi suất; hoặc cố định lãi suất, chỉnh xác suất. Cùng giá phái sinh.
- True probability không khớp giá thị trường vì có phần bù rủi ro. Risk-neutral probability nghiêng về nhánh lãi suất cao, drift trung hòa rủi ro cao hơn drift thực; chênh lệch phản ánh phần bù rủi ro.
Nhiều kỳ, CMT swap, OAS
- Ba bước: giá trái phiếu tại mọi nút → payoff option ở đáo hạn → đi ngược theo risk-neutral probability. Call 7% ba năm, strike $100: $0.45; trái phiếu $105.01.
- Trái phiếu callable = trái phiếu thường − call (sửa dòng tiền tại nút có quyền chọn).
- CMT swap: hoán đổi lấy lợi suất Treasury kỳ hạn cố định; giá trị nút = kỳ vọng chiết khấu + thanh toán tại nút. Ví dụ $1,466.63.
- OAS: chênh lệch cộng vào lãi suất chiết khấu (không vào lãi suất tính dòng tiền) để giá mô hình = giá thị trường. Giá thị trường < giá mô hình: cheap; > giá mô hình: rich. Ví dụ 20 bp → $1,464.40.
Cây, bước thời gian, BSM, quyền chọn nhúng
- Recombining tree: n + 1 nút sau n kỳ, tính toán được. Nonrecombining (state-dependent volatility): 2n nút, thực tế hơn nhưng khó tính.
- Bước nhỏ hơn: chính xác, thực tế hơn; tính toán phức tạp, tốn kém hơn.
- BSM không hợp với trái phiếu: giá có trần, lãi suất không cố định, độ biến động giá giảm dần về đáo hạn.
- Callable: độ lồi âm dưới y′, lãi vốn bị chặn và rủi ro tái đầu tư tăng khi lợi suất giảm, độ biến động giá thấp hơn. Putable: giá put là sàn khi lợi suất tăng.