Tóm tắt Reading 14: The Art of Term Structure Models: Drift — FRM2

Model 1: dr = σdw; dw ~ N(0, dt), E(dw) = 0 nên không drift. Độ lệch chuẩn của thay đổi lãi suất = σdt (1.2% × 1/12 = 0.346%).
Cây Model 1: lên/xuống σdt với xác suất 0.5, tái hợp; cuối kỳ 2 có r₀ + 2σdt, r₀, r₀ − 2σdt.
Hạn chế Model 1: không khớp hình dạng đường cong (convexity effect làm đường cong dự báo dốc xuống), volatility phẳng theo kỳ hạn, một nhân tố, dịch chuyển song song.
Model 2: dr = λdt + σdw; drift = thay đổi kỳ vọng + phần bù rủi ro. Nút giữa cuối kỳ 2 = r₀ + 2λdt. Hạn chế: drift hiệu chỉnh thường quá cao; phải dự báo phần bù rủi ro cho kỳ hạn dài.

Phân phối chuẩn luôn cho xác suất lãi suất âm; tăng theo kỳ hạn (σT) và khi lãi suất hiện tại thấp.
Hai cách xử lý: dùng phân phối không âm (lognormal, chi-squared) nhưng gây lệch/volatility sai; hoặc đặt nút âm bằng 0, chỉ sửa phân phối ở vùng lãi suất thấp (thường được ưa hơn).
Trái phiếu coupon ít nhạy với vấn đề này; option có payoff bất đối xứng thì nhạy hơn.

Ho-Lee: dr = λ(t)dt + σdw; nút giữa cuối kỳ 2 = r₀ + (λ₁ + λ₂)dt. λ₁ = λ₂ thì về Model 2. Hiệu chỉnh cuốn chiếu: r₀ từ lãi suất một kỳ, λ₁ khớp lãi suất hai kỳ, λ₂ khớp chứng khoán ba kỳ.
Arbitrage-free model khớp giá thị trường, dùng định giá công cụ kém thanh khoản/may đo (off-the-run, swap kỳ hạn lệch, option trên trái phiếu). Hai điểm yếu: không sửa được cấu trúc sai; giả định giá thị trường đúng.
Phân tích giá trị tương đối phải dùng equilibrium model.

Phương trình dr = k(θ − r)dt + σdw; θ ≈ r_l + λ ÷ k (6% + 0.36% ÷ 0.03 = 18%).
Nút một bước: r + k(θ − r)dt ± σdt. Cây 50/50 không tái hợp (6.258% so với 6.260%) vì nhánh xa θ có drift lớn hơn.
Ép tái hợp: gộp nút giữa (6.259%), thay 50/50 bằng p, q; giải p, r_uu (và q, r_dd) từ điều kiện trung bình và độ lệch chuẩn.
E(r_T) = r₀e^−kT + θ(1 − e^−kT); half-life τ = ln(2) ÷ k (k = 0.03 → 23.1 năm).
Volatility giảm theo kỳ hạn (Model 1 phẳng); cú sốc lãi suất ngắn hạn không gây dịch chuyển song song; tin ngắn hạn ↔ k cao, tin dài hạn ↔ k thấp.