Tóm tắt Reading 15: The Art of Term Structure Models: Volatility and Distribution

Volatility theo thời gian

• Mô hình tổng quát dr = λ(t)dt + σ(t)dw; Model 1 (dr = σdw) và Ho-Lee (dr = λ(t)dt + σdw) là trường hợp riêng.
• Model 3: dr = λ(t)dt + σe^−αtdw, σ là volatility tại t = 0, giảm về 0 khi α > 0. Ví dụ: 0.24% ÷ 12 + 1.5% × e^−0.3/12 × 0.2 = 0.31% (Model 2 cho 0.32%).
• Hữu ích cho cap/floor vì giá phụ thuộc σ(t) tại nhiều thời điểm. Cùng σ ban đầu và α = k thì độ lệch chuẩn cuối kỳ của Model 3 bằng Vasicek; thêm drift bằng đường trung bình Vasicek thì phân phối cuối kỳ trùng nhau.
• Khác Vasicek: Model 3 vẫn dịch chuyển song song. Định giá option (nội suy giá thị trường) → volatility theo thời gian; định giá/phòng hộ → mean reversion.
• Điểm yếu: ngầm để thị trường dự báo volatility rất xa; dung hòa bằng cho volatility tiến tới hằng số.

CIR và lognormal

• Mô hình CIR: dr = k(θ − r)dt + σ√r dw; basis point volatility σ√r tăng chậm dần. Ví dụ 0.04 × 19% ÷ 12 + 1.5% × √0.05 × 0.2 = 0.13%.
• Lognormal (Model 4): dr = ar dt + σr dw; yield volatility σ không đổi, basis point volatility σr tăng tuyến tính.
• Lãi suất không âm (nếu r không âm và drift dương); phân phối lệch phải, khác normal nhiều ở đuôi nên giá option out-of-the-money khác biệt. Market maker có thể vẫn chọn mô hình đơn giản nếu xác suất âm ít ảnh hưởng giá.

Lognormal với drift và mean reversion

• Lognormal có drift: d[ln(r)] = a(t)dt + σdw; cây trên ln r rồi lấy mũ: nút trên kỳ 1 = r₀e^{a₁dt + σ√dt}. Drift dạng nhân (Ho-Lee: dạng cộng); r₀e^σ ≈ r₀(1 + σ).
• Black-Karasinski: d[ln(r)] = k(t)[ln θ(t) − ln(r)]dt + σ(t)dw; không tự tái hợp. Bước bằng nhau: tái hợp khi k(2) = [σ(1) − σ(2)] ÷ [σ(1)dt]. Ép tái hợp bằng cách đổi dt: k(2) = (1 ÷ dt₂)[1 − σ(2)√dt₂ ÷ (σ(1)√dt₁)].