Tóm tắt Reading 16: The Vasicek and Gauss+ Models

Mô hình lãi suất và Vasicek

• Mô hình tốt: khớp giá công cụ cơ bản, khớp giá phái sinh, phản ánh hành vi kỳ vọng (mean reversion, cấu trúc volatility). Mô phỏng nhiều đường r₀ → r₁ → … để có phân phối lãi suất tương lai.
• Vasicek: dr = k(θ − r)dt + σdw; một nhân tố, volatility hằng số. Dùng cho trái phiếu zero-coupon, phòng hộ cơ bản. Hạn chế: không tái tạo hình dạng đường cong và volatility phức tạp, không phản ánh volatility theo kỳ hạn, không đưa đủ xu hướng vĩ mô và chính sách tiền tệ.

Cấu trúc Gauss+

• Phương trình dr_t = −α_r(r_t − m_t)dt (không có cú sốc).
• Phương trình dm_t = −α_m(m_t − l_t)dt + σ_m(ρdw¹ + √1 − ρ²dw²).
• Phương trình dl_t = −α_l(l_t − μ)dt + σ_ldw¹; E[dw¹dw²] = 0, dw ~ N(0, √dt).
• Tầng hội tụ: r → m → l → μ; chỉ μ cố định (gồm kỳ vọng lãi suất và phần bù rủi ro). Tốc độ α_r > α_m > α_l.
• Ý nghĩa: r là lãi suất chính sách; m là chu kỳ kinh doanh, tác động chính sách tiền tệ; l là kỳ vọng lạm phát, tăng trưởng năng suất dài hạn.
• Bốn đặc tính: mean reversion, tương quan nhân tố (qua ρ), cấu trúc volatility dạng bướu, nhất quán giá (trái phiếu, swap, cap, floor).

So sánh và tính toán

• Vasicek: một σ nên chỉ khớp volatility tại một điểm; ít linh hoạt về hình dạng; không khớp giá phái sinh. Gauss+: ba nhân tố, volatility dạng bướu, dùng cho phái sinh, quản trị rủi ro, phân tích vĩ mô.
• Ví dụ một tháng (dt = 0.083): r = 4.50%, m = 5.25%, l = 4.00% → r ≈ 4.57%, m ≈ 4.73%, l ≈ 4.16%.
• Quiz: r = 5%, m = 6%, α_r = 1.3, dt = 0.25 → dr = +0.325%.

Ước lượng tham số

• Có thể dùng maximum likelihood; cách đơn giản theo sáu bước: chọn đại diện lãi suất ngắn hạn → hồi quy thay đổi ngắn hạn theo thay đổi lãi suất 2 năm và 10 năm → tìm α khớp hệ số (hệ số không phụ thuộc volatility) → xác định cấu trúc volatility → tìm σ_m, σ_l, ρ → tìm μ bằng tối thiểu hóa bình phương sai số lợi suất.