Tóm tắt Reading 29: Portfolio Credit Risk — FRM2

Biến Bernoulli x_i: E[x_i] = π_i, Var = π_i(1 − π_i), Cov = π₁₂ − π₁π₂.
ρ₁₂ = (π₁₂ − π₁π₂) ÷ [π₁(1 − π₁) × π₂(1 − π₂)]. PD 0.002 và 0.003, π₁₂ = 0.00015: ρ = 5.89%.
n doanh nghiệp: 2ⁿ kịch bản nhưng chỉ (n + 1) + n(n − 1) ÷ 2 điều kiện (10 doanh nghiệp: 1,024 và 56). Thực tế cho mọi tương quan cặp bằng một tham số không âm.
Hạn chế khác: bảo lãnh, hạn mức quay vòng, nghĩa vụ tiềm tàng có tính quyền chọn; CDS basis trade chịu yếu tố thanh khoản; trái phiếu chuyển đổi lai cổ phiếu; vỡ nợ hiếm nên ước lượng tương quan bất ổn, thường quanh 0.05.

Credit VaR = phân vị tổn thất − expected loss. Tương quan không đổi expected loss, chỉ đổi độ biến động và phân vị cực trị.
Tương quan 1: danh mục như một khoản vay; PD 2%, $1 million: credit VaR 95% = −$20,000, credit VaR 99% = $980,000.
Tương quan 0: số vụ vỡ nợ ~ nhị thức(n, π). Với n = 50: credit VaR 95% = $40,000; n = 1,000: $8,000.
Var(số vụ vỡ nợ) = nπ(1 − π)[1 + (n − 1)ρ].
Granularity làm credit VaR giảm; danh mục rất lớn, độc lập thì tổn thất hội tụ về expected loss. PD thấp thì tác động của granularity nhỏ hơn.

a_i = β_im + 1 − β_i²ε_i; tương quan tài sản của cặp = β_iβ_j; vỡ nợ khi a_i ≤ k_i, π_i = Φ(k_i).
Độc lập có điều kiện: biết m thì các vụ vỡ nợ độc lập.
Có điều kiện: trung bình β_im̄, độ lệch chuẩn 1 − β_i², ngưỡng k_i không đổi; p(m̄) = Φ[(k_i − β_im̄) ÷ 1 − β_i²].
Cùng tham số: π_ij = Φ₂(k, k; β²), ρ = [Φ₂ − π²] ÷ [π(1 − π)]. PD 1%, tương quan tài sản 0.25: default correlation ≈ 3.4%.
Danh mục lớn: tỷ lệ tổn thất = p(m); P(X > x) = Φ(m̄). Với x = π = 1%, k = −2.33: m̄ = −2.33[1 − 1 − β²] ÷ β (β = 0.25: −0.296; β = 0.5: −0.6243).
Credit VaR 99% (m̄ = −2.33), PD 1%: β = 0.25 cho tỷ lệ tổn thất 3.56%, β = 0.5 cho 8.93%.

Bốn bước: xác định copula → mô phỏng thời điểm vỡ nợ → giá trị và lãi lỗ từng kịch bản → cộng giá trị cuối kỳ, đọc thống kê phân phối.
Ví dụ hai khoản BB và CCC, tương quan 0.25: phân vị 99% = $1,490,000 (cả hai vỡ nợ), phân vị 95% = $780,000 (chỉ CCC vỡ nợ).