Tóm tắt Reading 3: Parametric Approaches (II): Extreme Value

Cực trị và GEV

• Giá trị cực trị hiếm nhưng tốn kém; khó vì quá ít quan sát và có những mức chưa từng xảy ra; phân phối chọn theo xu hướng trung tâm bỏ sót đuôi.
• Fisher-Tippett: khi n lớn, phân phối của cực trị M_n hội tụ về GEV: F(x) = exp[−(1 + ξ(x − μ) ÷ σ)^−1/ξ] (ξ ≠ 0); F(x) = exp[−exp(−(x − μ) ÷ σ)] (ξ = 0); điều kiện 1 + ξ(x − μ) ÷ σ > 0.
• μ là location, σ là scale (không phải trung bình, độ lệch chuẩn); ξ là tail index.
• ξ > 0: Fréchet, đuôi dày (t, Pareto); ξ = 0: Gumbel, đuôi nhẹ (chuẩn, lognormal); ξ < 0: Weibull, đuôi nhẹ hơn chuẩn, hiếm trong tài chính.
• Chọn ξ: tin chắc phân phối gốc; kiểm định không bác bỏ ξ = 0; hoặc thận trọng giả định ξ > 0 để tránh model risk. Ước lượng: ML, hồi quy, bán tham số (Hill estimator; khó nhất là chọn số quan sát đuôi).

POT và GP

• POT mô hình mọi phần lỗ vượt ngưỡng u: F_u(x) = [F(x + u) − F(u)] ÷ [1 − F(u)]; ít tham số hơn GEV.
• GPBdH: u lớn thì F_u hội tụ về GP: G(x) = 1 − (1 + ξx ÷ β)^−1/ξ (ξ ≠ 0), 1 − exp(−x ÷ β) (ξ = 0); β > 0, ξ giống GEV.
• Chọn u: đủ cao để GPBdH đúng, đủ thấp để còn quan sát ước lượng β, ξ.
• VaR = u + (β ÷ ξ){[(n ÷ N_u)(1 − cl)]^−ξ − 1}; ES = VaR ÷ (1 − ξ) + (β − ξu) ÷ (1 − ξ). Ví dụ β = 0.75, ξ = 0.25, u = 1%, N_u/n = 5%: VaR 99% = 2.486%, ES = 3.981%.

GEV so với POT, EVT nhiều chiều

• Cùng gốc EVT, chung ξ. GEV: cực trị theo khối, ba tham số, có thể bỏ phí dữ liệu. POT: phần vượt ngưỡng, ít tham số hơn, nhưng chọn ngưỡng thêm bất định. Bản chất dữ liệu quyết định lựa chọn.
• EVT nhiều chiều: trọng tâm là tail dependence; phân phối elliptical và ma trận hiệp phương sai ít giá trị; cần EV copula. Curse of dimensionality: cực trị 1/100 mỗi biến độc lập → 1/10,000 (hai biến), 1/1,000,000 (ba biến).