Tóm tắt Reading 87: Portfolio Risk: Analytical Methods

Diversified VaR và tương quan

• Diversified (portfolio) VaR: VaR_P = Z_c × σ_P × P; σ_P² = Σ w_i²σ_i² + 2ΣΣ w_iw_jρ_ijσ_iσ_j. Tương quan thấp hơn → VaR thấp hơn.
• Individual VaR: VaR_i = Z_c × σ_i × |P_i| (trị tuyệt đối vì vị thế bán khống cũng có rủi ro).
• Hai tài sản: VaR_P = √VaR₁² + VaR₂² + 2ρVaR₁VaR₂. ρ = 0: √VaR₁² + VaR₂² ($2.4m, $1.6m → $2.8844m); ρ = 1: VaR₁ + VaR₂ = undiversified VaR ($4m).
• Đều tỷ trọng, cùng σ, cùng ρ: σ_P = σ√1/N + (1 − 1/N)ρ; N → ∞ thì σ_P → σ√ρ. Năm vị thế $2m, σ 30%, ρ 0.2: σ_P = 18%, VaR (Z 2.33) = $4,194,000.

Marginal, incremental, component VaR

• Marginal VaR: MVaR_i = Z_c × cov(R_i, R_P) ÷ σ_P = (VaR_P ÷ P) × β_i, tính trên mỗi đồng. €400,000 ÷ €4m × 1.2 = 0.12.
• Incremental VaR: VaR sau khi thêm vị thế − VaR trước. Full revaluation chính xác nhưng tốn kém; xấp xỉ Σ MVaR_j × η_j nhanh nhưng chỉ tốt cho giao dịch nhỏ. +$10,000 vào A: 0.064428 × 10,000 = $644.28.
• Component VaR: CVaR_i = MVaR_i × P_i = VaR_P × β_i × w_i = VaR_i × ρ_i; Σ CVaR_i = VaR_P vì Σ w_iβ_i = 1. Danh mục A/B: $257,713 (42.35%) và $350,777 (57.65%), tổng $608,490.
• Phân phối không elliptical: dùng Euler's theorem; lấy lợi suất từng vị thế vào ngày danh mục chạm mức VaR, lấy trung bình quanh ngày đó cho đỡ nhiễu.

Quản lý danh mục bằng marginal VaR

• Giảm VaR: rút vốn khỏi vị thế MVaR cao, chuyển sang vị thế MVaR thấp. Danh mục VaR nhỏ nhất: MVaR_i = MVaR_j. A/B dời sang $5m/$1m: VaR $546,247, MVaR 0.08971 và 0.09769.
• Danh mục tối ưu (tối đa excess return trên VaR): (R_i − R_F) ÷ MVaR_i bằng nhau, hay (R_i − R_F) ÷ β_i bằng nhau. Tăng vị thế có tỷ số cao hơn.
• A/B với excess return 6% và 11%: tỷ số 0.9313 và 0.6272 → tăng A; dời sang $4.5m/$1.5m: tỷ số trên VaR tăng từ 0.7559 lên 0.7707.
• Risk management chỉ nhìn rủi ro (danh mục VaR nhỏ nhất); portfolio management cân cả lợi nhuận (danh mục tối ưu, Sharpe ratio cao nhất).